06. Η διάταξη των πραγματικών αριθμών – Μαθηματικά Γυμνασίου & Λυκείου

1 Η διάταξη των πραγματικών αριθμών

1.1 Η έννοια της διάταξης στους πραγματικούς αριθμούς

Η διάταξη των πραγματικών αριθμών βασίζεται στη σύγκριση της μεταξύ τους τιμής και συνδέεται άμεσα με τη γεωμετρική τους αναπαράσταση στον άξονα των πραγματικών αριθμών.

Θεωρία και Ορισμοί

Ορισμός της ανισότητας:

Ένας πραγματικός αριθμός \(\alpha\) λέμε ότι είναι μεγαλύτερος από έναν αριθμό \(\beta\) και γράφουμε \(\alpha > \beta\), όταν η διαφορά \(\alpha - \beta\) είναι θετικός αριθμός.

Αντίστοιχα, ο \(\alpha\) είναι μικρότερος από τον \(\beta\) (\(\alpha < \beta\)) όταν η διαφορά \(\alpha - \beta\) είναι αρνητικός αριθμός.

Στην περίπτωση που οι αριθμοί είναι ίσοι, η διαφορά τους είναι μηδέν.

Σημείωση

Άν \(α>0 \quad \text{ και } \quad β>0 \Longrightarrow α+β>0\)

Άν \(α<0 \quad \text{ και } \quad β<0 \Longrightarrow α+β<0\)

Άν α, β ομόσημοι θετικοί ή α, β ομόσημοι αρνητικοί \(\quad \Longrightarrow α\cdotβ>0\)

Άν α, β ετερόσημοι \(\quad \Longrightarrow α\cdotβ<0\)

1.1.1 Παραδείγματα

Σύγκριση: Αν θέλουμε να δείξουμε ότι \(5 > 2\), ελέγχουμε τη διαφορά \(5 - 2 = 3\), η οποία είναι θετική.
Αν α>0 και β<0 \(\quad \Longrightarrow\) -β>0 και άρα

α-β=α+(-β)>0 \(\quad \Longrightarrow\) α>β
β-α=β+(-α)<0 \(\quad \Longrightarrow\) β<α

1.2 Οι ιδιότητες των ανισοτήτων

Βασικές Ιδιότητες:

Μεταβατική ιδιότητα: Αν \(\alpha < \beta\) και \(\beta < \gamma\), τότε \(\alpha < \gamma\).
Πρόσθεση αριθμού: Αν προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό \(\gamma\) και στα δύο μέλη μιας ανισότητας, η φορά της δεν αλλάζει (\(\alpha < \beta \Leftrightarrow \alpha + \gamma < \beta + \gamma\)).
Πρόσθεση ανισοτήτων: Μπορούμε να προσθέτουμε κατά μέλη ομοιόστροφες ανισότητες (\(\alpha < \beta\) και \(\gamma < \delta \Rightarrow \alpha + \gamma < \beta + \delta\)).
Πολλαπλασιασμός με θετικό αριθμό: Αν \(\gamma > 0\), τότε \(\alpha < \beta \Leftrightarrow \alpha \cdot \gamma < \beta \cdot \gamma\).
Πολλαπλασιασμός με αρνητικό αριθμό: Αν \(\gamma < 0\), τότε \(\alpha < \beta \Leftrightarrow \alpha \cdot \gamma > \beta \cdot \gamma\) (η φορά της ανισότητας αντιστρέφεται).
Ιδιότητα τετραγώνου: Για κάθε πραγματικό αριθμό \(\alpha\) ισχύει ότι \(\alpha^2 \geq 0\).
Αντίστροφοι αριθμοί: Αν οι \(\alpha, \beta\) είναι ομόσημοι και \(\alpha < \beta\), τότε οι αντίστροφοί τους αλλάζουν φορά: \(\dfrac{1}{\alpha} > \dfrac{1}{\beta}\).

1.2.1 Παραδείγματα

Πολλαπλασιασμός: Αν έχουμε την ανισότητα \(x < 3\) και πολλαπλασιάσουμε με το \(-2\), προκύπτει \(-2x > -6\).
Τετράγωνα: Η σχέση \((\alpha - \beta)^2 \geq 0\) είναι πάντα αληθής και οδηγεί στη γνωστή ανισότητα \(\alpha^2 + \beta^2 \geq 2\alpha\beta\).
Διπλές ανισότητες: Αν \(1 < x < 2\) και \(3 < y < 4\), τότε προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε \(4 < x + y < 6\).

1.3 Διαστήματα πραγματικών αριθμών

Η διάταξη επιτρέπει τον ορισμό συνόλων αριθμών που ονομάζονται διαστήματα:

Κλειστό διάστημα \([\alpha, \beta]\): Οι αριθμοί \(x\) για τους οποίους \(\alpha \leq x \leq \beta\).
Ανοικτό διάστημα \((\alpha, \beta)\): Οι αριθμοί \(x\) για τους οποίους \(\alpha < x < \beta\).
Άπειρα διαστήματα: Όπως το \([\alpha, +\infty)\) για \(x \geq \alpha\) ή το \((-\infty, \alpha)\) για \(x < \alpha\).

1.3.1 Παραδείγματα

Το \(κ \leq x \leq λ\) δηλαδή το διάστημα \(\left[ κ , λ\right]\) παριστάνεται με την παρακάτω εικόνα γεωμετρικά
Το \(κ \leq x \lt λ\) δηλαδή το διάστημα \(\left[ κ , λ\right)\) παριστάνεται με την παρακάτω εικόνα γεωμετρικά
Το \(κ \lt x \lt λ\) δηλαδή το διάστημα \(\left(κ , λ\right)\) παριστάνεται με την παρακάτω εικόνα γεωμετρικά
Το \(κ \leq x \lt +\infty\) δηλαδή το διάστημα \(\left[κ , +\infty\right)\) παριστάνεται με την παρακάτω εικόνα γεωμετρικά
Το \(-\infty \lt x \lt λ\) δηλαδή το διάστημα \(\left(-\infty , λ\right)\) παριστάνεται με την παρακάτω εικόνα γεωμετρικά

Σημείωση

Ανάλογα παρουσιάζονται και όλα τα άλλα διαστήματα που μπορεί να συναντήσουμε

\((κ, +\infty)\)

\((-\infty, λ]\) κ.τ.λ

1.4 Ασκήσεις

Αν για τους πραγματικούς αριθμούς \(\alpha, \beta\) ισχύει \(1 < \alpha < 2\) και \(2 < \beta < 5\), να αποδείξετε ότι \(3 < \alpha + \beta < 7\).
Να αποδείξετε ότι για κάθε \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) ισχύει η ανισότητα \(2(\alpha^2 + \beta^2) \geq (\alpha + \beta)^2\).
Αν \(x > 4\), να αποδείξετε ότι η παράσταση \(5(x - 1)\) είναι μεγαλύτερη από το \(15\).
Να διατάξετε από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο τους αριθμούς \(1, x, x^2\), όταν είναι γνωστό ότι \(0 < x < 1\).
Να βρείτε τις τιμές των \(x, y\) για τις οποίες ισχύει η εξίσωση: \((x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 0\).
Αν είναι \(6 < x < 8\) και \(2 < y < 3\), να αποδείξετε ότι:

1. \(\quad 8 < x + y < 11\).
1. \(\quad 3 < x - y < 6\).
1. \(\quad 18 < 2x + 3y < 25\).
1. \(\quad \dfrac{6}{3} < \dfrac{x}{y} < \dfrac{8}{2}\).

Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς \(\alpha, \beta\) ισχύουν οι παρακάτω ανισότητες:

1. \(\quad \alpha^2 + \beta^2 \geq 2\alpha\beta\).
1. \(\quad 2(\alpha^2 + \beta^2) \geq (\alpha + \beta)^2\).
1. \(\quad (\alpha + \beta)^2 \geq 4\alpha\beta\).
Πότε ισχύει η ισότητα σε κάθε περίπτωση;

Έστω ένας πραγματικός αριθμός \(\alpha\) με \(0 < \alpha < 1\).

1. Να αποδείξετε ότι \(\quad \alpha^3 < \alpha\).
1. Να διατάξετε από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο τους αριθμούς: \(0, \alpha, \alpha^2, \alpha^3, 1, \dfrac{1}{\alpha}\).

Να αποδείξετε ότι:

1. Αν \(\alpha, \beta\) είναι ομόσημοι πραγματικοί αριθμοί, τότε \(\dfrac{\alpha}{\beta} + \dfrac{\beta}{\alpha} \geq 2\).
1. Αν \(\alpha, \beta\) είναι ετερόσημοι πραγματικοί αριθμοί, τότε \(\dfrac{\alpha}{\beta} + \dfrac{\beta}{\alpha} \leq -2\).

Αν ισχύει η διάταξη \(\alpha < 2 < \beta\), να αποδείξετε ότι: \[\alpha\beta + 4 < 2\alpha + 2\beta\]

(Υπόδειξη: Μεταφέρετε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος και χρησιμοποιήστε παραγοντοποίηση).

Να αποδείξετε ότι:

α) \(\quad \beta^2 + 16 \ge 8\beta\)
β) \(\quad 2(\alpha^2 + 4\gamma^2) \ge (\alpha + 2\gamma)^2\)

Να αποδείξετε ότι \(\alpha^2 + \beta^2 - 4\alpha + 4 \ge 0\). Πότε ισχύει η ισότητα;
Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς \(x\) και \(y\) σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις:

α) Αν \((x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 0\)
β) Αν \(x^2 + y^2 + 4x - 6y + 13 = 0\)

Μετασχηματήστε σε \((x+a)^2+(y+b)^2\)

Αν \(2,1 < x < 2,2\) και \(3,2 < y < 3,3\), να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή καθεμιάς από τις παραστάσεις:

α) \(\quad x + y\)
β) \(\quad x - y\)
γ) \(\quad xy\)
δ) \(\quad x^2 + y^2\)

Το πλάτος \(x\) και το μήκος \(y\) ενός ορθογωνίου ικανοποιούν τις ανισότητες \(4 < x < 5\) και \(6 < y < 8\). Αν αυξήσουμε το πλάτος κατά \(0,3\) και ελαττώσουμε το μήκος κατά \(0,2\), να βρείτε τις δυνατές τιμές:

α) της περιμέτρου
β) του εμβαδού του νέου ορθογωνίου.

Αν \(0 < \alpha < \beta\), να δείξετε ότι \(\dfrac{1}{\alpha} > \dfrac{1}{\beta}\).
Να βρείτε το λάθος στον παρακάτω συλλογισμό:

Έστω \(x < 3\). Τότε έχουμε διαδοχικά:

\(x < 3\)

\(x^2 < 3x\)

\(x^2 - 9 < 3x - 9\)

\((x-3)(x+3) < 3(x-3)\)

\(x+3 < 3\)

\(x < 0\)
Δίνονται ένα κλάσμα \(\dfrac{x}{y}\) θετικών όρων και ένας θετικός αριθμός \(\delta\). Να αποδείξετε ότι:

α) Αν \(\quad \dfrac{x}{y} < 1\), τότε \(\dfrac{x+\delta}{y+\delta} > \dfrac{x}{y}\)
β) Αν \(\quad \dfrac{x}{y} > 1\), τότε \(\dfrac{x+\delta}{y+\delta} < \dfrac{x}{y}\)

Αν \(x > 1\) και \(y > 1\), να αποδείξετε ότι \(x + y < 1 + xy\)
Αν \(a, b\) θετικοί αριθμοί, να δείξετε ότι \((2a + b)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{2b}) \ge 4\)
Να αποδείξετε ότι:

α) \(\quad 4x^2 + 2xy + y^2/4 \ge 0\)
β) \(\quad x^2 - 3xy + \dfrac{9}{4}y^2 \ge 0\)

Συμβουλή

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ!